积分是微积分学中的一个核心概念，它表示的是函数在某区间上的累积效果。积分可以分为定积分和不定积分两种。

不定积分

基本公式：对于多项式函数 $y = a \cdot x^n$，其不定积分可以通过公式 $\int a \cdot x^n \, dx = \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + C$ 来计算，其中 $C$ 是积分常数。

换元法：通过引入新的变量 $t$ 来替换原函数中的某些变量，然后通过求解新变量的积分来得到原函数的积分。

分部积分法：将复杂的积分拆分成两个较简单的积分，然后分别求解这两个积分，最后将结果相加。

定积分

几何意义：定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的面积，即函数在区间 $[a, b]$ 上的累积效果。

数值方法：通过将区间 $[a, b]$ 分割成许多小区间，并在每个小区间上近似计算面积，最后将所有小区间的面积和取极限，从而得到定积分的数值结果。

换元积分法：与不定积分类似，通过引入新的变量 $t$ 来替换原函数中的某些变量，然后通过求解新变量的定积分来得到原函数的定积分。

示例

不定积分

求 $\int x^2 \, dx$：

$$

\int x^2 \, dx = \frac{1}{3} x^3 + C

$$

定积分

求 $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$：

$$

\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} （1^3 - 0^3） = \frac{1}{3}

$$

通过上述方法，可以求解各种类型的积分问题。在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的积分方法。